Aproximación local de Taylor

Artículos principales: Serie de Taylor y Teorema de Taylor.

Hemos visto que podemos aproximar mediante su recta tangente a una función derivable localmente en un punto. Si se cumple que la función es suficientementesuave en el punto o dominio de estudio (esto es, la función es de clase ) se puede aproximar la función no por polinomios de grado uno, sino por polinomios de grado dos, tres, cuatro y sucesivamente. Esta aproximación recibe el nombre de «desarrollo polinómico de Taylor» y se define de la siguiente manera:

Donde P(x) es el polinomio de grado n que mejor aproxima a la función en el punto x=a. Nótese que si evaluamos P(x) en x=a todos los términos salvo el f(a) se anulan, luego P(a) = f(a). Nótese también que la ecuación de la recta tangente del apartado anterior corresponde al caso en el que n=1.

Cuando a=0 el desarrollo se denomina desarrollo de MacLaurin. En la práctica la mayoría de las veces se emplean desarrollos de MacLaurin. Ejemplos de desarrollos importantes de MacLaurin son:

Nótese el símbolo  que denota aproximación que no igualdad. Si la función a aproximar es infinitamente derivable () y agregamos infinitos términos al desarrollo entonces el  se convierte en un  y el desarrollo anterior se convierte en una serie de Taylor. Las funciones que son igual a su serie de Taylor se denominan funciones analíticas.

Cálculo de puntos

Puntos singulares

Se denominan puntos singulares ó estacionarios a los valores de la variable en los que se anula la derivada f '(x) de una función f(x), es decir, si f ´(x)=0 en x₁, x₂,x₃, . . . , x_n, entonces x₁, x₂, x₃, . . . , x_n son puntos singulares de f(x). Los valores f(x₁), f(x₂), f(x₃), . . . , f(x_n), se llaman valores singulares.

Puntos críticos

Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a o b del dominio [a,b] de definición de la función.

Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimización. Aunque nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas

Generalización del cálculo diferencial

Cuando una función depende de más de una variable, se utiliza el concepto de derivada parcial. Las derivadas parciales se pueden pensar informalmente como tomar la derivada de una función con respecto a una de ellas, manteniendo las demás variables constantes. Las derivadas parciales se representan como  (en donde ; es una 'd' redondeada conocida como 'símbolo de la derivada parcial').

El concepto de derivada puede ser extendido de forma más general. El hilo común es que la derivada en un punto sirve como una aproximación lineal a la función en dicho punto. Quizá la situación más natural es que las funciones sean diferenciables en las variedades. La derivada en un cierto punto entonces se convierte en una transformación lineal entre los correspondientes espacios tangentes y la derivada de la función se convierte en un mapeo entre los grupos tangentes.

Para diferenciar todas las funciones continuas y mucho más, se puede definir el concepto de distribución.

Para las funciones complejas de una variable compleja, la diferenciabilidad es una condición mucho más fuerte que la simple parte real e imaginaria de la función diferenciada con respecto a la parte real e imaginaria del argumento. Por ejemplo, la función  satisface lo segundo, pero no lo primero. Vea también Función holomórfica.

Dadas las funciones, de valor real, y ambas con dominio, el problema consiste en hallar los valores máximos o mínimos (valores extremos) de cuando se restringe a tomar valores en el conjunto.