LIMITE DE UNA FUNCION

La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación.

Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.

Función, por su parte, también coincide con el término anterior en lo que respecta a su origen. Y es que, de igual modo, viene del latín, más exactamente de “functio”, que es sinónimo de “función o ejecución”.

Función, por otra parte, es un concepto que refiere a diversas cuestiones. En este caso, nos interesa la definición de función matemática (la relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B).

La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

Dentro de lo que sería el límite de la función, tendríamos que destacar la existencia de una teoría muy importante. Nos estamos refiriendo a la teoría del sándwich, también conocida como teorema del emparedado, que tiene su origen en tiempos del físico griego Arquímedes, que la usó al igual que hiciera el matemático Eudoxo de Cnido, que era discípulo del filósofo Platón.

No obstante, se considera que el verdadero formulador de aquella no es otro que el matemático y astrónomo alemán Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), que ha pasado a la Historia por el calificativo de “príncipe de las Matemáticas”.

Ese teorema tenemos que decir que lo que viene a establecer es que si dos funciones se decantan por el mismo límite en lo que se refiere a un punto concreto, cualquier otra función que se establezca entre ambas también compartirá con ellas el mismo límite.

Dentro del ámbito del análisis matemático y del cálculo, y más exactamente en el área de las demostraciones, es donde se suele recurrir al uso de la teoría del sándwich, que también es llamada teorema del ladrón y los dos policías.

Los límites de las funciones ya se analizaban en el siglo XVII, aunque la notación moderna surgió en el siglo XVIII a partir del trabajo de diversos especialistas. Se dice que Karl Weierstrass fue el primer matemático en proponer una técnica precisa, entre 1850 y 1860.

En definitiva, una función f con límite X en t quiere decir que dicha función tiende hacia su límite X cerca de t, con f(x) tan cerca de X como sea posible pero haciendo que x sea distinto de t. De todas maneras, la idea de cercanía es poco precisa, por lo que una definición formal requiere de más elementos.

LIMITE

Un límite es una división, ya sea física o simbólica, que marca una separación entre dos territorios o naciones. Por ejemplo: “Las autoridades están furiosas porque afirman que el país vecino ha violado el límite territorial”, “¿Ves esos árboles? Son el límite de nuestra propiedad, así que no puedes jugar a la pelota más allá”, “El ecuador es una línea imaginaria que divide al planeta a la mitad”.

Las fronteras territoriales, por lo tanto, son límites que marcan la división de dos regiones. Lo habitual es que la noción de frontera refiera a algo concreto (una muralla, un alambrado, etc.), mientras que el límite puede ser un accidente geográfico o algo más bien simbólico.

Límite también es el extremo al que se puede llegar desde lo espiritual o lo corporal, o el que alcanza un cierto tiempo: “He vivido una situación límite por culpa de la inacción policial”, “El límite para la entrega de trabajos es el próximo miércoles”, “No puedo seguir caminando, he llegado al límite de mis fuerzas”.

De la misma forma tampoco podemos obviar una expresión que se utiliza mucho a nivel coloquial. Se trata de “al límite”. Con ella lo que quiere manifestarse es que, por ejemplo, una persona se encuentra en una situación muy complicada que está a punto de desembocar en un auténtica tragedia. Así una oración que puede ejemplificar dicho significado es la siguiente: “Almudena se encuentra al límite de sus fuerzas, no puede aguantar ya tanta presión”.

Un límite, por otra parte, puede ser una restricción o una limitación. Puede hablarse de un límite legal, social o de otro tipo. Para la psicología, un límite es una represión que no siempre resulta negativa (“Hay que poner límites a este niño”).

Además de todo lo expuesto tenemos que subrayar que en el cine en muchas ocasiones se ha utilizado el término estudiado para dar título a producciones de diversa índole. Así, por ejemplo, nos encontramos con el film “Al límite” que en el año 1999 presentó Martin Scorsese.

Nicolas Cage y Patricia Arquette son los protagonistas de este trabajo en el que se cuenta como un empleado de los servicios de ambulancia de urgencias está muy estresado por su trabajo y comienza a sufrir alucinaciones en las que se le aparecen todas aquellas personas a las que no ha podido salvar su vida.

Tampoco hay que olvidarse de otra película que comparte el mismo título que la anterior, pero que llegó a la gran pantalla en el año 2010 de la mano del cineasta Martin Campbell. El argumento gira entorno al asesinato de la hija de un policía, interpretado por Mel Gibson.

En el ámbito de la matemática, por último, un límite es una magnitud fija a la que se acercan de manera progresiva los términos que conforman una secuencia infinita de magnitudes. De esta forma puede hablarse del límite de una función, el límite de una sucesión, etc.

Aproximación local de Taylor

Artículos principales: Serie de Taylor y Teorema de Taylor.

Hemos visto que podemos aproximar mediante su recta tangente a una función derivable localmente en un punto. Si se cumple que la función es suficientementesuave en el punto o dominio de estudio (esto es, la función es de clase ) se puede aproximar la función no por polinomios de grado uno, sino por polinomios de grado dos, tres, cuatro y sucesivamente. Esta aproximación recibe el nombre de «desarrollo polinómico de Taylor» y se define de la siguiente manera:

Donde P(x) es el polinomio de grado n que mejor aproxima a la función en el punto x=a. Nótese que si evaluamos P(x) en x=a todos los términos salvo el f(a) se anulan, luego P(a) = f(a). Nótese también que la ecuación de la recta tangente del apartado anterior corresponde al caso en el que n=1.

Cuando a=0 el desarrollo se denomina desarrollo de MacLaurin. En la práctica la mayoría de las veces se emplean desarrollos de MacLaurin. Ejemplos de desarrollos importantes de MacLaurin son:

Nótese el símbolo  que denota aproximación que no igualdad. Si la función a aproximar es infinitamente derivable () y agregamos infinitos términos al desarrollo entonces el  se convierte en un  y el desarrollo anterior se convierte en una serie de Taylor. Las funciones que son igual a su serie de Taylor se denominan funciones analíticas.

Cálculo de puntos

Puntos singulares

Se denominan puntos singulares ó estacionarios a los valores de la variable en los que se anula la derivada f '(x) de una función f(x), es decir, si f ´(x)=0 en x₁, x₂,x₃, . . . , x_n, entonces x₁, x₂, x₃, . . . , x_n son puntos singulares de f(x). Los valores f(x₁), f(x₂), f(x₃), . . . , f(x_n), se llaman valores singulares.

Puntos críticos

Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a o b del dominio [a,b] de definición de la función.

Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimización. Aunque nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas

Generalización del cálculo diferencial

Cuando una función depende de más de una variable, se utiliza el concepto de derivada parcial. Las derivadas parciales se pueden pensar informalmente como tomar la derivada de una función con respecto a una de ellas, manteniendo las demás variables constantes. Las derivadas parciales se representan como  (en donde ; es una 'd' redondeada conocida como 'símbolo de la derivada parcial').

El concepto de derivada puede ser extendido de forma más general. El hilo común es que la derivada en un punto sirve como una aproximación lineal a la función en dicho punto. Quizá la situación más natural es que las funciones sean diferenciables en las variedades. La derivada en un cierto punto entonces se convierte en una transformación lineal entre los correspondientes espacios tangentes y la derivada de la función se convierte en un mapeo entre los grupos tangentes.

Para diferenciar todas las funciones continuas y mucho más, se puede definir el concepto de distribución.

Para las funciones complejas de una variable compleja, la diferenciabilidad es una condición mucho más fuerte que la simple parte real e imaginaria de la función diferenciada con respecto a la parte real e imaginaria del argumento. Por ejemplo, la función  satisface lo segundo, pero no lo primero. Vea también Función holomórfica.

Dadas las funciones, de valor real, y ambas con dominio, el problema consiste en hallar los valores máximos o mínimos (valores extremos) de cuando se restringe a tomar valores en el conjunto.

HISTORIA DEL CALCULO

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), con conceptos de tipo geométrico como el problema de la tangente a una curva de Apolonio de Perge, pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta el siglo XVII por la obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz.

Ellos sintetizaron dos conceptos y métodos usados por sus predecesores en lo que hoy llamamos «diferenciación» e «integración». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Desde el siglo XVII, muchos matemáticos han contribuido al cálculo diferencial. En el siglo XIX, el cálculo tomó un estilo más riguroso, debido a matemáticos comoAugustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866), y Karl Weierstrass (1815–1897). Fue también durante este periodo que el cálculo diferencial fue generalizado al espacio euclídeo y el plano complejo.

¿QUE ES EL CALCULO?

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de  en cada punto. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

La inversa de una derivada se llama primitiva, anti derivada o integral indefinida